Sturm-Liouville-problem, eller egenverdiproblem, i matematikk, en viss klasse av partielle differensialligninger (PDE-er) underlagt ekstra begrensninger, kjent som grenseverdier, på løsningene. Slike ligninger er vanlige i både klassisk fysikk (f.eks. Termisk ledning) og kvantemekanikk (f.eks. Schrödinger-ligning) for å beskrive prosesser der en eller annen ekstern verdi (grenseverdi) holdes konstant mens systemet med interesse overfører en form for energi.
I midten av 1830-årene jobbet de franske matematikerne Charles-François Sturm og Joseph Liouville uavhengig av problemet med varmeledning gjennom en metallstang, i prosessen med å utvikle teknikker for å løse en stor klasse av PDE-er, hvor den enkleste har formen [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 der y er en viss fysisk mengde (eller den kvantemekaniske bølgefunksjonen) og λ er en parameter, eller egenverdi, som begrenser ligningen slik at y tilfredsstiller grenseverdiene ved sluttpunktene for intervallet som variabelen x går over. Hvis funksjonene p, q og r tilfredsstiller passende forhold, vil ligningen ha en familie av løsninger, kalt egenfunksjoner, tilsvarende egenverdiløsningene.
For det mer kompliserte ikke-homogene tilfellet der høyre side av ligningen ovenfor er en funksjon, f (x), i stedet for null, kan egenverdiene til den tilsvarende homogene ligningen sammenlignes med egenverdiene til den opprinnelige ligningen. Hvis disse verdiene er forskjellige, vil problemet ha en unik løsning. På den annen side, hvis en av disse egenverdiene samsvarer, vil problemet verken ha noen løsning eller en hel familie med løsninger, avhengig av egenskapene til funksjonen f (x).
