Differensial ligning

Differensial ligning, matematisk setning som inneholder ett eller flere derivater - det vil si termer som representerer endringshastighetene for kontinuerlig varierende mengder. Differensialligninger er svært vanlige innen vitenskap og ingeniørfag, så vel som i mange andre felt for kvantitativ studie, fordi det som kan observeres og måles direkte for systemer som gjennomgår endringer, er endringshastighetene. Løsningen av en differensialligning er generelt en ligning som uttrykker den funksjonelle avhengigheten til en variabel av en eller flere andre; den inneholder vanligvis konstante vilkår som ikke er til stede i den opprinnelige differensialligningen. En annen måte å si dette på er at løsningen av en differensialligning produserer en funksjon som kan brukes til å forutsi oppførselen til det originale systemet, i det minste innenfor visse begrensninger.

analyse: Newton og differensialligninger

anvendelsen av analyse er differensialligninger, som relaterer endringshastigheten for forskjellige mengder til deres nåværende verdier,

Differensialligninger er klassifisert i flere brede kategorier, og disse er igjen videre inndelt i mange underkategorier. De viktigste kategoriene er ordinære differensialligninger og partielle differensialligninger. Når funksjonen som er involvert i ligningen bare avhenger av en enkelt variabel, er dens deriverte vanlige derivater og differensialligningen klassifiseres som en vanlig differensialligning. På den annen side, hvis funksjonen er avhengig av flere uavhengige variabler, slik at dens derivater er partielle derivater, klassifiseres differensialligningen som en delvis differensialligning. Følgende er eksempler på ordinære differensialligninger:

I disse står y for funksjonen, og enten t eller x er den uavhengige variabelen. Symbolene k og m brukes her for å stå for bestemte konstanter.

Uansett hvilken type det måtte være, sies en differensialligning å være av den niende rekkefølgen hvis den involverer et derivat av den niende orden, men ingen derivat av en rekkefølge høyere enn dette. Ligningen er et eksempel på en delvis differensialligning av andre orden. Teoriene om ordinære og partielle differensialligninger er markant forskjellige, og av denne grunn blir de to kategoriene behandlet hver for seg.

I stedet for en enkelt differensiallikning, kan gjenstanden for studiet være et samtidig system av slike ligninger. Formuleringen av lovene om dynamikk fører ofte til slike systemer. I mange tilfeller kan en enkelt differensialligning av den niende rekkefølge fordelaktig erstattes av et system med n samtidige ligninger, som hver er av første rekkefølge, slik at teknikker fra lineær algebra kan anvendes.

En vanlig differensialligning der for eksempel funksjonen og den uavhengige variabelen er betegnet med y og x, er i virkeligheten en implisitt sammendrag av de essensielle egenskapene til y som en funksjon av x. Disse egenskapene vil antagelig være mer tilgjengelige for analyse hvis en eksplisitt formel for y kunne produseres. En slik formel, eller i det minste en ligning i x og y (som ikke involverer derivater) som er fradragbar fra differensialligningen, kalles en løsning av differensialligningen. Prosessen med å trekke en løsning fra ligningen ved bruk av algebra og kalkulus kalles å løse eller integrere ligningen. Det skal imidlertid bemerkes at de differensialligningene som eksplisitt kan løses, utgjør bare et lite mindretall. Dermed må de fleste funksjoner studeres ved indirekte metoder. Selv dens eksistens må bevises når det ikke er noen mulighet for å produsere den for inspeksjon. I praksis brukes metoder fra numerisk analyse, som involverer datamaskiner, for å oppnå nyttige omtrentlige løsninger.