Continuum hypotese, angivelse av mengdelære at mengden av reelle tall (kontinuum) er på en måte så liten som det kan være. I 1873 beviste den tyske matematikeren Georg Cantor at kontinuumet er utellelig - det vil si at de reelle tallene er større uendelig enn tellende tall - et sentralt resultat i å starte setteorien som et matematisk fag. Videre utviklet Cantor en måte å klassifisere størrelsen på uendelige sett i henhold til antall elementer, eller dets kardinalitet. (Se setteori: Kardinalitet og transfinite tall.) I disse begrepene kan kontinuumhypotesen anføres som følger: Kardinaliteten til kontinuumet er det minste utellelige kardinalnummeret.
settteori: Kardinalitet og transfinite tall
en formodning kjent som kontinuumhypotesen.
I Cantors notasjon kan kontinuumhypotesen angis med den enkle ligningen 2 ℵ 0 = ℵ 1, der ℵ 0 er kardinalnummeret til et uendelig tellbart sett (for eksempel settet med naturlige tall), og kardinalnummerene til større " velordnede sett ”er ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indeksert med ordinære tall. Kardinaliteten i kontinuumet kan vises til lik 2 ℵ 0; Dermed utelukker kontinuumhypotesen eksistensen av et sett med størrelse mellom det naturlige antall og kontinuumet.
En sterkere uttalelse er den generaliserte kontinuumhypotesen (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 for hvert ordinære tall α. Den polske matematikeren Wacław Sierpiński beviste at man med GCH kan utlede det valgte aksiomet.
Som med det valgte aksiomet, den østerrikskfødte amerikanske matematikeren Kurt Gödel beviste i 1939 at hvis de andre standard Zermelo-Fraenkel-aksiomene (ZF; se
tabell) er konsistente, da motbeviser de ikke kontinuumhypotesen eller til og med GCH. Det vil si at resultatet av å legge GCH til de andre aksiomene forblir konsistent. I 1963 fullførte den amerikanske matematikeren Paul Cohen bildet ved å vise, igjen under antakelsen at ZF er konsekvent, at ZF ikke gir et bevis på kontinuumhypotesen.
Siden ZF verken beviser eller motbeviser kontinuumhypotesen, gjenstår det spørsmålet om å akseptere kontinuumhypotesen basert på et uformelt begrep om hva sett er. Det generelle svaret i det matematiske samfunnet har vært negativt: kontinuumhypotesen er en begrensende påstand i en sammenheng der det ikke er kjent grunn til å innføre en grense. I settteorien tildeler kraftsettoperasjonen til hvert sett med kardinalitet ℵ α sitt sett med alle undersett, som har kardinalitet 2 ℵ α. Det ser ikke ut til å være noen grunn til å sette en grense for mangfoldet av undergrupper som et uendelig sett kan ha.
