Hippokrates of Chios (fl. Ca. 460 f.Kr.) demonstrerte at de måneformede områdene mellom sirkulære buer, kjent som lune, kunne uttrykkes nøyaktig som et rettlinjet område, eller firkant. I det følgende enkle tilfellet har to lune som er utviklet rundt sidene av en høyre trekant, et kombinert område som tilsvarer det for trekanten.
-
Begynn med høyre ΔABC, tegne en sirkel hvis diameter faller sammen med AB (side c), hypotenusen. Fordi en hvilken som helst høyre trekant tegnet med en sirkeldiameter for sin hypotenuse må være innskrevet i sirkelen, må C være på sirkelen.
-
Tegn halvsirkler med diametrene AC (side b) og BC (side a) som på figuren.
-
Merk de resulterende banene L 1 og L 2 og de resulterende segmentene S 1 og S 2, som angitt på figuren.
-
Nå må summen av melodiene (L 1 og L 2) være lik summen av halvsirklene (L 1 + S 1 og L 2 + S 2) som inneholder dem minus de to segmentene (S 1 og S 2). Dermed er L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (siden området til en sirkel er π ganger radiusens firkant).
-
Summen av segmentene (S 1 og S 2) tilsvarer halvdelen av halvsirkelen basert på AB minus trekantens område. Dermed er S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Ved å erstatte uttrykket i trinn 5 inn i trinn 4 og utarbeide vanlige begreper, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Siden ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, av Pythagorean teorem. Således L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokrates klarte å kvadrere flere slags lune, noen på buer større og mindre enn halvsirkler, og han intimerte, selv om han kanskje ikke hadde trodd, at metoden hans kunne kvadratere en hel sirkel. På slutten av den klassiske tidsalderen nevnte Boethius (ca. ad 470–524), hvis latinske oversettelser av utdrag av Euklid ville holde lyset fra geometri flimrende i et halvt årtusen, og nevnte at noen hadde oppnådd sirkulærens kvadrering. Hvorvidt det ukjente snillet brukte lune eller annen metode er ikke kjent, siden Boethius av mangel på plass ikke ga demonstrasjonen. Han overførte dermed utfordringen med kvadraturen til sirkelen sammen med fragmenter av geometri som tilsynelatende var nyttige i å utføre den. Europeerne holdt på den ulykkelige oppgaven langt inn i opplysningstiden. Til slutt, i 1775, nektet Paris Academy of Sciences, som var lei av oppgaven med å oppdage feil i de mange løsningene som ble forelagt det, å ha noe videre å gjøre med sirkelkvadrater.
