Analysematematikk

Analysehistorie

Grekerne møter kontinuerlige størrelser

Analyse består av de delene av matematikk der kontinuerlig endring er viktig. Disse inkluderer studier av bevegelse og geometri av glatte kurver og overflater - spesielt beregning av tangenter, områder og volumer. Antikke greske matematikere gjorde store fremskritt både i teorien og i analysen. Teorien ble tvunget til dem omtrent 500 fv. Av Pythagoreas oppdagelse av irrasjonelle størrelser og om lag 450 fvt av Zenos bevegelsesparadokser.

Pytagoreerne og irrasjonelle tall

Opprinnelig mente pytagoreerne at alle ting kunne måles med de diskrete naturlige tallene (1, 2, 3,

) og forholdstallene deres (vanlige brøk eller de rasjonelle tallene). Denne troen ble imidlertid rystet av oppdagelsen at diagonalen til en enhetskvadrat (det vil si en firkant med sider på lengden 1) ikke kan uttrykkes som et rasjonelt tall. Denne oppdagelsen ble skapt av deres egen Pythagoreiske teorem, som slo fast at plassen på hypotenusen til en høyre trekant er lik summen av rutene på de to andre sidene - i moderne notasjon, c ² = a ² + b ². I en enhetskvadrat er diagonalen hypotenusen til en høyre trekant, med sidene a = b = 1; følgelig er dens mål kvadratrot på √2 - et irrasjonelt tall. Mot sine egne intensjoner hadde pytagoreerne derved vist at rasjonelle antall ikke var tilstrekkelig til å måle selv enkle geometriske objekter. (Se Sidebar: Incommensurables.) Reaksjonene deres var å lage en aritmetikk av linjesegmenter, som finnes i bok II av Euclids elementer (ca. 300 f.Kr.), som inkluderte en geometrisk tolkning av rasjonelle tall. For grekerne var linjesegmentene mer generelle enn tall, fordi de inkluderte kontinuerlige så vel som diskrete størrelser.

Faktisk kan kvadratrot av √2 være relatert til de rasjonelle tallene bare via en uendelig prosess. Dette ble realisert av Euclid, som studerte aritmetikken til både rasjonelle tall og linjesegmenter. Hans berømte euklidiske algoritme, når den brukes på et par naturlige tall, fører i et begrenset antall trinn til deres største fellesdel. Imidlertid, når den brukes på et par linjesegmenter med et irrasjonelt forhold, for eksempel kvadratrot av 22 og 1, lykkes det ikke å avslutte. Euclid brukte til og med denne ikke-utryddelsesegenskapen som kriterium for irrasjonalitet. Dermed utfordret irrasjonaliteten det greske antallet begrepet ved å tvinge dem til å takle uendelige prosesser.

Zenos paradokser og bevegelsesbegrepet

Akkurat som kvadratroten av ² var en utfordring for grekernes antydebegrep, var Zenos paradokser en utfordring for bevegelsesbegrepet. I sin fysikk (ca. 350 f.Kr.) siterte Aristoteles Zeno på å si:

Det er ingen bevegelse fordi det som blir flyttet må ankomme midten [av kurset] før det ankommer på slutten.

Zenos argumenter er bare kjent gjennom Aristoteles, som siterte dem hovedsakelig for å tilbakevise dem. Antagelig mente Zeno at for å komme hvor som helst, må man først gå halvveis, og før den en fjerdedel av veien og før den en åttedel av veien og så videre. Fordi denne prosessen med å halvere avstandene skulle gå videre i uendelig (et konsept som grekerne ikke ville akseptere som mulig), hevdet Zeno å "bevise" at virkeligheten består av forandringsløst vesen. Til tross for deres avsky mot uendelig, fant grekerne at konseptet var uunnværlig i matematikken i kontinuerlige størrelser. Så de resonnerte om uendelig så fin som mulig, i en logisk ramme som ble kalt teorien om proporsjoner og bruker metoden for utmattelse.

Teorien om proporsjoner ble opprettet av Eudoxus ca 350 fvt og bevart i bok V av Euclids elementer. Den etablerte et eksakt forhold mellom rasjonelle størrelser og vilkårlige størrelser ved å definere to størrelser for å være like hvis de rasjonelle størrelsesnivåene mindre enn dem var de samme. Med andre ord, to størrelser var forskjellige bare hvis det var en rasjonell størrelse strengt mellom dem. Denne definisjonen tjente matematikere i to årtusener og banet vei for aritmetisering av analyse på 1800-tallet, der vilkårlige tall ble definert strengt med tanke på de rasjonelle tallene. Andelsteoriene var den første strenge behandlingen av begrepet grenser, en idé som er kjernen i moderne analyse. I moderne termer definerte Eudoxus 'teori vilkårlige størrelser som grenser for rasjonelle størrelser, og grunnleggende teoremer om summen, forskjellen og størrelsen på produktet tilsvarte teoremer om summen, forskjellen og produktet av grenser.