Riemann hypotese matematikk

Riemann-hypotese, i tallteori, hypotese av den tyske matematikeren Bernhard Riemann angående lokaliseringen av løsninger for Riemann zeta-funksjonen, som er koblet til primtallsteoremet og har viktige implikasjoner for fordelingen av primtall. Riemann inkluderte hypotesen i en artikkel, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“På antall primtall mindre enn en gitt mengde”), utgitt i november 1859-utgaven av Monatsberichte der Berliner Akademie (“Månedlig anmeldelse av Berlin-akademiet ”).

Zeta-funksjonen er definert som den uendelige serien ζ (r) = 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s + ⋯, eller, i mer kompakt notasjon, , hvor summeringen (Σ) av termer for n går fra 1 til uendelig gjennom de positive heltallene og s er et fast positivt heltall større enn 1. Zeta-funksjonen ble først studert av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler på 1700-tallet. (Av denne grunn kalles det noen ganger Euler zeta-funksjonen. For ζ (1) er denne serien ganske enkelt den harmoniske serien, kjent siden antikken øker uten å binde seg - dvs. summen er uendelig.) Euler oppnådde øyeblikkelig berømmelse når han viste i 1735 at ζ (2) = π ² /6, et problem som hadde unnsluppet den største matematikere av æra, inkludert det sveitsiske Bernoulli familien (Jakob, Johann, og Daniel). Mer generelt oppdaget Euler (1739) en sammenheng mellom verdien av zeta-funksjonen for jevne heltall og Bernoulli-tallene, som er koeffisientene i Taylor-serien utvidelse av x / (e ^x - 1). (Se også eksponentiell funksjon.) Enda mer utrolig, i 1737 oppdaget Euler en formel som angår zeta-funksjonen, som innebærer å summere en uendelig rekke av termer som inneholder de positive heltalene, og et uendelig produkt som involverer hvert primtall:

Riemann utvidet studien av zeta-funksjonen til å inkludere komplekse tall x + iy, der i = kvadratrot av √ 1, bortsett fra linjen x = 1 i det komplekse planet. Riemann visste at zeta-funksjonen tilsvarer null for alle negative jevne heltall −2, −4, −6,

(såkalte trivielle nuller), og at den har et uendelig antall nuller i den kritiske stripen med komplekse tall som faller strengt mellom linjene x = 0 og x = 1. Han visste også at alle ikke-trivielle nuller er symmetriske med hensyn til kritiske linje x = ^{Anmeldelse for 1.} / _2-. Riemann antok at alle nontrivialnollene er på den kritiske linjen, en formodning som senere ble kjent som Riemann-hypotesen.

I 1914 engelske matematikeren Godfrey Harold Hardy vist at et uendelig antall av løsninger av ζ (s) = 0 eksistere på den kritiske linje x = ^{Anmeldelse for 1.} / _2-. Deretter ble det vist av forskjellige matematikere at en stor andel av løsningene må ligge på den kritiske linjen, selv om de hyppige ”bevisene” for at alle de ikke-trivielle løsningene er på det har vært feil. Datamaskiner har også blitt brukt til å teste løsninger, med de første 10 billionene ikke-trivielle løsningene som viser seg å ligge på den kritiske linjen.

Et bevis på Riemann-hypotesen ville ha vidtrekkende konsekvenser for tallteori og for bruk av primer i kryptografi.

Riemann-hypotesen har lenge vært ansett som det største uløste problemet i matematikk. Det var et av 10 uløste matematiske problemer (23 på den trykte adressen) presentert som en utfordring for 1900-tallets matematikere av den tyske matematikeren David Hilbert på den andre internasjonale matematikkongressen i Paris 8. august 1900. I 2000 amerikansk matematiker Stephen Smale oppdaterte Hilberts idé med en liste over viktige problemer for det 21. århundre; Riemann-hypotesen var nummer én. I 2000 ble det utnevnt til et Millennium Problem, et av syv matematiske problemer valgt av Clay Mathematics Institute i Cambridge, Mass., USA, for en spesiell pris. Løsningen for hvert tusenårsproblem er verdt 1 million dollar. I 2008 listet US Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) det ut som en av DARPA matematiske utfordringer, 23 matematiske problemer som det ble anmodet om forskningsforslag om finansiering - “Matematisk utfordring Nitten: Settle Riemann-hypotesen. Den hellige gral fra tallteorien. ”