Logaritme, eksponenten eller kraften som en base må heves til for å gi et gitt antall. Matematisk uttrykt er x logaritmen til n til basen b hvis b x = n, i hvilket tilfelle skriver man x = log b n. For eksempel 2 3 = 8; derfor er 3 logaritmen fra 8 til base 2, eller 3 = log 2 8. På samme måte, siden 10 2 = 100, deretter 2 = log 10 100. Logaritmer av sistnevnte sortering (det vil si logaritmer med base 10) kalles vanlige, eller Briggsianske, logaritmer og skrives ganske enkelt log n.
Logaritmer reduserte tiden som kreves for å multiplisere tall med mange sifre, oppfunnet på 1600-tallet for å få fart på beregningene. De var grunnleggende i numerisk arbeid i mer enn 300 år, helt til perfeksjonen av mekaniske beregningsmaskiner på slutten av 1800-tallet og datamaskiner på 1900-tallet gjorde dem foreldet for storskala beregninger. Den naturlige logaritmen (med base e ≅ 2.71828 og skrevet ln n) er imidlertid fortsatt en av de mest nyttige funksjonene i matematikk, med anvendelser til matematiske modeller i fysiske og biologiske vitenskaper.
Egenskaper ved logaritmer
Logaritmer ble raskt adoptert av forskere på grunn av forskjellige nyttige egenskaper som forenklet lange, kjedelige beregninger. Spesielt kunne forskere finne produktet av to tall m og n ved å slå opp hvert talls logaritme i en spesiell tabell, legge logaritmene sammen og deretter konsultere tabellen igjen for å finne tallet med den beregnede logaritmen (kjent som dens antilogaritme). Uttrykt i form av vanlige logaritmer, er dette forholdet gitt ved logg mn = log m + log n. For eksempel kan 100 × 1000 beregnes ved å slå opp logaritmene til 100 (2) og 1000 (3), legge logaritmene sammen (5), og deretter finne dens antilogaritme (100 000) i tabellen. Tilsvarende konverteres delingsproblemer til subtraksjonsproblemer med logaritmer: log m / n = log m - log n. Dette er ikke alt; beregningen av krefter og røtter kan forenkles ved bruk av logaritmer. Logaritmer kan også konverteres mellom alle positive baser (bortsett fra at 1 ikke kan brukes som base, siden alle kreftene er lik 1), som vist i
tabell over logaritmiske lover.
Bare logaritmer for tall mellom 0 og 10 ble vanligvis inkludert i logaritmetabeller. For å oppnå logaritmen til et antall utenfor dette området, ble tallet først skrevet i vitenskapelig notasjon som produktet av dets betydelige sifre og dets eksponentielle kraft - for eksempel ville 358 bli skrevet som 3,58 × 10 2, og 0,0046 ville blitt skrevet som 4,6 × 10 −3. Da vil logaritmen til de betydelige sifrene - en desimal brøk mellom 0 og 1, kjent som mantissen - bli funnet i en tabell. For å finne logaritmen til 358, vil man for eksempel slå opp loggen 3.58 ≅ 0.55388. Derfor logg 358 = logg 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. I eksemplet med et tall med en negativ eksponent, for eksempel 0,0046, ville man slå opp logg 4.6 ≅ 0.66276. Derfor logg 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.
