Kurt Gödel, Gödel stavet også Goedel, (født 28. april 1906, Brünn, Østerrike-Ungarn [nå Brno, tsjekkisk rep.] - dødJan. 14. 1978, Princeton, NJ, USA), østerrikskfødt matematiker, logiker og filosof som oppnådde det som kan være det viktigste matematiske resultatet av 1900-tallet: hans berømte ufullstendighetsteorem, som sier at innenfor et hvilket som helst aksiomatisk matematisk system er det forslag som ikke kan bevises eller motbevises på grunnlag av aksiomene i det systemet; Dermed kan et slikt system ikke være samtidig komplett og konsistent. Dette beviset etablerte Gödel som en av de største logikerne siden Aristoteles, og konsekvensene av det følges og diskuteres i dag.
grunnlaget for matematikk: Gödel
Implisitt i Hilberts program hadde vært håpet om at den syntaktiske forestillingen om provabilitet ville fange den semantiske forestillingen om sannhet. Gödel
Tidlig liv og karriere
Gödel led i flere perioder med dårlig helse som barn, etter en anfall i 6-årsalderen med revmatisk feber, noe som gjorde at han var redd for å få et gjenværende hjerteproblem. Hans livslange bekymring for helsen hans kan ha bidratt til hans eventuelle paranoia, som inkluderte obsessivt rengjøring av hans redskaper og bekymring for matens renhet.
Som tysktalende østerriker fant Gödel seg plutselig bosatt i det nyopprettede landet Tsjekkoslovakia da det østerriksk-ungarske riket ble brutt opp ved slutten av første verdenskrig i 1918. Seks år senere gikk han imidlertid for å studere i Østerrike, ved Universitetet i Wien, hvor han fikk sin doktorgrad i matematikk i 1929. Han begynte på fakultetet ved Universitetet i Wien neste år.
I løpet av denne perioden var Wien et av de intellektuelle knutepunktene i verden. Det var hjemmet til den berømte Wienkretsen, en gruppe forskere, matematikere og filosofer som støttet det naturalistiske, sterkt empiriske og antimetafysiske synet kjent som logisk positivisme. Gdeles avhandlingsrådgiver, Hans Hahn, var en av lederne for Wienkretsen, og han introduserte sin stjernestudent for gruppen. Gdeles egne filosofiske synspunkter kunne imidlertid ikke ha vært mer forskjellige fra positivistenes synspunkter. Han abonnerte på platonisme, teisme og dual-body mind-body. I tillegg var han også noe mentalt ustabil og utsatt for paranoia - et problem som ble verre etter hvert som han eldes. Dermed lot kontakten hans med medlemmene av Wienkretsen følelsen av at 1900-tallet var fiendtlig mot ideene hans.
Gödels setninger
I sin doktoravhandling, “Über die Vollständigkeit des Logikkalküls” (“Om fullstendigheten av calculus of logic”), utgitt i en litt forkortet form i 1930, beviste Gödel et av århundrets viktigste logiske resultater - ja, av hele tiden - nemlig fullstendighetsteoremet, som slo fast at klassisk førsteordens logikk, eller predikatberegning, er fullstendig i den forstand at alle de første ordens logiske sannheter kan bevises i standard førsteordens bevissystemer.
Dette var imidlertid ingenting sammenlignet med det Gödel publiserte i 1931 — nemlig ufullstendighetsteoremet: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”). Grovt sett slo dette teoremet fast at det er umulig å bruke den aksiomatiske metoden for å konstruere en matematisk teori, i en hvilken som helst gren av matematikk, som innebærer alle sannhetene i den matematikkgrenen. (I England hadde Alfred North Whitehead og Bertrand Russell brukt år på et slikt program, som de ga ut som Principia Mathematica i tre bind i 1910, 1912 og 1913.) For eksempel er det umulig å komme med en aksiomatisk matematisk teori som fanger til og med alle sannhetene om de naturlige tallene (0, 1, 2, 3,
). Dette var et ekstremt viktig negativt resultat, som før 1931 prøvde mange matematikere å gjøre nettopp det - konstruere aksiomsystemer som kunne brukes til å bevise alle matematiske sannheter. Flere kjente logikere og matematikere (f.eks. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) brukte faktisk betydelige deler av karrieren på dette prosjektet. Dessverre for dem ødela Gödels teorem hele dette aksiomatiske forskningsprogrammet.
Internasjonal stjernestatus og flytte til USA
Etter publiseringen av ufullstendighetsteoremet ble Gödel en internasjonalt kjent intellektuell skikkelse. Han reiste flere ganger til USA og foreleste mye ved Princeton University i New Jersey, hvor han møtte Albert Einstein. Dette var begynnelsen på et nært vennskap som skulle vare til Einsteins død i 1955.
Imidlertid var det også i denne perioden Gödels mentale helse begynte å bli dårligere. Han led av depresjonsutbrudd, og etter drapet på Moritz Schlick, en av lederne for Wienkretsen, av en forrykket student, led Gödel et nervøst sammenbrudd. I årene som kommer led han flere.
Etter at Nazi-Tyskland annekterte Østerrike 12. mars 1938 befant Gödel seg i en ganske vanskelig situasjon, blant annet fordi han hadde en lang historie med nære assosiasjoner med forskjellige jødiske medlemmer av Wien-sirkelen (han hadde faktisk blitt angrepet på gatene i Wien av ungdommer som trodde at han var jødisk) og delvis fordi han plutselig sto i fare for å bli vernepliktige i den tyske hæren. 20. september 1938 giftet Gödel seg med Adele Nimbursky (née Porkert), og da andre verdenskrig brøt ut et år senere, flyktet han Europa med sin kone og tok den transsibirske jernbanen over Asia, og seilte over Stillehavet, og deretter tok han et nytt tog over USA til Princeton, NJ, hvor han, med hjelp av Einstein, tiltrådte en stilling ved det nyopprettede Institute for Advanced Studies (IAS). Han tilbrakte resten av livet på å jobbe og undervise ved IAS, som han trakk seg tilbake i 1976. Gödel ble amerikansk statsborger i 1948. (Einstein deltok på høringen fordi Gödels oppførsel var ganske uforutsigbar, og Einstein var redd for at Gödel kunne sabotere hans egen sak.)
I 1940, bare måneder etter at han ankom Princeton, publiserte Gödel en annen klassisk matematisk artikkel, "Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory," som beviste at valgets aksiom og kontinuum Hypotesen stemmer overens med standardaksiomene (som Zermelo-Fraenkel-aksiomene) i setteorien. Dette etablerte halvparten av en antagelse av Gödels — nemlig at kontinuumhypotesen ikke kunne bevises sann eller usann i standard settteorier. Gödels bevis viste at det ikke kunne bevises usant i disse teoriene. I 1963 demonstrerte den amerikanske matematikeren Paul Cohen at det heller ikke kunne bevises at det var sant i disse teoriene, og bekrefter Gödels formodning.
I 1949 ga Gödel også et viktig bidrag til fysikken, og viste at Einsteins teori om generell relativitet tillater mulighet for tidsreiser.
