Diophantus, ved navn Diophantus fra Alexandria, (blomstret ca. 250 år), gresk matematiker, kjent for sitt arbeid i algebra.
tallteori: Diophantus
Av senere greske matematikere er spesielt bemerkelsesverdig Diophantus av Alexandria (blomstret ca. 250), forfatter
Det som er lite kjent om Diophantus 'liv, er omstendighetsmessig. Fra betegnelsen “Alexandria” ser det ut til at han arbeidet i det viktigste vitenskapelige sentrum av den gamle greske verden; og fordi han ikke er nevnt før det 4. århundre, virker det sannsynlig at han blomstret i løpet av det 3. århundre. Et aritmetisk epigram fra Anthologia Graeca fra sen antikken, som påstås å gjengi noen landemerker i livet hans (ekteskap 33 år, sønnen ble født 38 år, sønnens død fire år før sin egen alder på 84), kan godt bli forfulgt. To verk har kommet til oss under hans navn, begge ufullstendige. Den første er et lite fragment på polygonale tall (et tall er polygonalt hvis det samme antall prikker kan ordnes i form av en vanlig polygon). Den andre, en stor og ekstremt innflytelsesrik avhandling som all den eldgamle og moderne berømmelsen til Diophantus gjenlegger, er hans Arithmetica. Den historiske betydningen er todelt: det er det første kjente verket som benytter algebra i en moderne stil, og det inspirerte gjenfødelsen av tallteorien.
Arithmetica begynner med en introduksjon adressert til Dionysius - uten tvil St. Dionysius av Alexandria. Etter noen generaliteter om tall, forklarer Diophantus sin symbolikk - han bruker symboler for det ukjente (tilsvarende vår x) og dens krefter, positive eller negative, så vel som for noen aritmetiske operasjoner - de fleste av disse symbolene er tydelig skriftlige forkortelser. Dette er den første og eneste forekomsten av algebraisk symbolikk før 1400-tallet. Etter å ha undervist multiplikasjon av kreftene til det ukjente, forklarer Diophantus multiplikasjonen av positive og negative begreper og deretter hvordan man kan redusere en ligning til en med bare positive termer (standardformen som er foretrukket i antikken). Med disse forberedelsene ute av veien, fortsetter Diophantus til problemene. Arithmetica er faktisk en samling av problemer med løsninger, omtrent 260 i den delen som fremdeles eksisterer.
Innledningen sier også at verket er delt inn i 13 bøker. Seks av disse bøkene var kjent i Europa på slutten av 1400-tallet, overført på gresk av bysantinske lærde og nummerert fra I til VI; fire andre bøker ble oppdaget i 1968 i en arabisk oversettelse fra 900-tallet av Qusṭā ibn Lūqā. Imidlertid mangler den arabiske teksten matematisk symbolikk, og den ser ut til å være basert på en senere gresk kommentar - kanskje den fra Hypatia (ca. 370–415) - som utvannet Diophantus utstilling. Vi vet nå at nummereringen av de greske bøkene må endres: Arithmetica består således av bøker I til III på gresk, bøker IV til VII på arabisk, og antagelig bøker VIII til X på gresk (de tidligere greske bøkene IV til VI). Ytterligere omnummerering er usannsynlig; det er ganske sikkert at bysantinere bare kjente de seks bøkene de sendte, og araberne ikke mer enn Bøker I til VII i den kommenterte versjonen.
Problemene i bok I er ikke karakteristiske, for det meste er enkle problemer som brukes til å illustrere algebraisk beregning. De særegne egenskapene til Diophantus problemer vises i de senere bøkene: De er ubestemmelige (har mer enn én løsning), er av den andre graden eller kan reduseres til den andre graden (den høyeste kraften på variable vilkår er 2, dvs. x 2), og avslutt med bestemmelsen av en positiv rasjonell verdi for det ukjente som vil gjøre et gitt algebraisk uttrykk til et numerisk kvadrat eller noen ganger en kube. (I hele sin bok bruker Diophantus “nummer” for å referere til det som nå kalles positive, rasjonelle tall; dermed er et kvadratnummer kvadratet til et positivt, rasjonelt tall.) Bøkene II og III lærer også generelle metoder. I tre problemer i bok II blir det forklart hvordan man representerer: (1) et gitt kvadratnummer som en sum av rutene med to rasjonelle tall; (2) et hvilket som helst gitt ikke-kvadratisk tall, som er summen av to kjente firkanter, som en sum av to andre firkanter; og (3) et hvilket som helst gitt rasjonelt antall som forskjellen på to firkanter. Mens de første og tredje problemene er oppgitt generelt, antyder den antatte kunnskapen om en løsning i det andre problemet at ikke alle rasjonelle tall er summen av to firkanter. Diophantus gir senere betingelsen for et heltall: det gitte tallet må ikke inneholde noen primfaktor av formen 4n + 3 hevet til en odde kraft, der n er et ikke-negativt heltall. Slike eksempler motiverte gjenfødelsen av tallteorien. Selv om Diophantus vanligvis er fornøyd med å få en løsning på et problem, nevner han noen ganger i problemer at det eksisterer et uendelig antall løsninger.
I Bøkene IV til VII utvider Diophantus grunnleggende metoder som de som er beskrevet ovenfor til problemer i høyere grad som kan reduseres til en binomligning av første- eller andregrad. Forordene til disse bøkene sier at deres formål er å gi leseren "erfaring og dyktighet." Selv om denne nylige oppdagelsen ikke øker kunnskapen om Diophantus matematikk, endrer den vurderingen av hans pedagogiske evne. Bøker VIII og IX (antagelig greske bøker IV og V) løser vanskeligere problemer, selv om de grunnleggende metodene forblir de samme. Et problem innebærer for eksempel å dekomponere et gitt heltall i summen av to firkanter som er vilkårlig nær hverandre. Et lignende problem innebærer å dekomponere et gitt heltall i summen av tre firkanter; i det utelukker Diophantus det umulige tilfellet med heltall i formen 8n + 7 (igjen, n er et ikke-negativt heltall). Bok X (antagelig gresk bok VI) omhandler rettvinklede trekanter med rasjonelle sider og underlagt forskjellige ytterligere betingelser.
Innholdet i de tre savnede bøkene om Arithmetica kan antas fra innledningen, hvor, etter å ha sagt at reduksjonen av et problem "om mulig" skulle avsluttes med en binomisk ligning, legger Diophantus til at han "senere" behandler saken av en treenighetsligning - et løfte som ikke er oppfylt i den eksisterende delen.
Selv om han hadde begrensede algebraiske verktøy til disposisjon, klarte Diophantus å løse en lang rekke problemer, og Arithmetica inspirerte arabiske matematikere som al-Karajī (ca. 980–1030) til å anvende metodene sine. Den mest kjente utvidelsen av Diophantus verk var av Pierre de Fermat (1601–65), grunnleggeren av moderne tallteori. I marginene av sin kopi av Arithmetica skrev Fermat forskjellige bemerkninger, og foreslo nye løsninger, korreksjoner og generaliseringer av Diophantus metoder, samt noen antagelser som Fermats siste teorem, som okkuperte matematikere i flere generasjoner fremover. Ubestemmelige ligninger som er begrenset til integrerte løsninger, har blitt kjent, men ikke på riktig måte, som diofantiske ligninger.
