Keglesnitt, også kalt kjegle, i geometri, enhver kurve produsert ved skjæringspunktet mellom et plan og en høyre sirkulær kjegle. Avhengig av vinkelen på planet i forhold til kjeglen, er krysset en sirkel, en ellipse, en hyperbola eller en parabola. Spesielle (degenererte) tilfeller av kryss oppstår når flyet bare passerer spissen (produserer et enkelt punkt) eller gjennom spissen og et annet punkt på kjeglen (og produserer en rett linje eller to kryssende rette linjer). Se figuren.
projektiv geometri: Projektive kjeglesnitt
Keglesnitt s kan betraktes som plane seksjoner av en høyre sirkulær kjegle (se figuren). Ved å angående
De grunnleggende beskrivelsene, men ikke navnene, på koniske seksjoner kan spores til Menaechmus (blomstret ca. 350 f.Kr.), en elev av både Platon og Eudoxus av Cnidus. Apollonius av Perga (ca. 262–190 f.Kr.), kjent som ”det store geometret”, ga kjeglesnittene navnene og var den første til å definere de to grenene til hyperbolen (som forutsetter dobbeltkjeglen). Apollonius 'åtte-volum avhandling om kjeglesnitt, Conics, er et av de største vitenskapelige verkene fra den antikke verden.
Analytisk definisjon
Kegler kan også beskrives som plankurver som er banene (loci) for et punkt som beveger seg, slik at forholdet mellom dets avstand fra et fast punkt (fokus) og avstanden fra en fast linje (directrix) er en konstant, kalt kurvens eksentrisitet. Hvis eksentrisiteten er null, er kurven en sirkel; hvis lik en, en parabola; hvis mindre enn en, en ellipse; og hvis større enn en, en hyperbola. Se figuren.
Hvert kjeglesnitt tilsvarer grafen til en andre grads polynomligning av formen Ax 2 + By 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, der x og y er variabler og A, B, C, D, E og F er koeffisienter som er avhengig av den spesielle kjeglen. Ved et passende valg av koordinatakser kan ligningen for en hvilken som helst konisk reduseres til en av tre enkle r-former: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 eller y 2 = 2 px, tilsvarende en ellipse, en hyperbola og en parabola. (En ellipse der a = b faktisk er en sirkel.) Den utstrakte bruken av koordinatsystemer for den algebraiske analysen av geometriske kurver oppsto hos René Descartes (1596–1650). Se Historie om geometri: kartesisk geometri.
Gresk opprinnelse
Den tidlige historien til kjeglesnitt er knyttet til problemet med å "doble kuben." I følge Eratosthenes of Cyrene (ca. 276–190 f.Kr.) konsulterte folket i Delos orakelet til Apollo for å få hjelp til å avslutte en pest (ca. 430 f.Kr.) og ble instruert om å bygge Apollo et nytt alter på det dobbelte av det gamle alterets volum og med samme kubikkform. Forvirrende rådførte Delianerne seg med Platon, som uttalte at “orakelet mente, ikke at guden ville ha et alter av dobbelt så stort, men at han ønsket å, ved å sette dem oppgaven, skamme grekerne for deres forsømmelse av matematikk og deres forakt for geometri. ” Hippocrates of Chios (ca. 470–410 f.Kr.) oppdaget først at “Delian-problemet” kan reduseres til å finne to gjennomsnittlige proporsjoner mellom a og 2a (volumene til de respektive alterene) - det vil si å bestemme x og y slik at en: x = x: y = y: 2a. Dette tilsvarer å løse samtidig to av likningene x 2 = ay, y 2 = 2ax og xy = 2a 2, som tilsvarer henholdsvis to parabolas og en hyperbola. Senere viste Archimedes (ca. 290–211 f.Kr.) hvordan man bruker koniske seksjoner for å dele en sfære i to segmenter med et gitt forhold.
Diokler (ca. 200 f.Kr.) demonstrerte geometrisk at stråler - for eksempel fra solen - som er parallelle med aksen til en paraboloid av revolusjon (produsert ved å rotere en parabola om symmetriaksen) møtes i fokus. Det sies at Archimedes har brukt denne eiendommen til å sette fyrens skip i brann. Ellers ble de sentrale egenskapene sitert av Anthemius fra Tralles, en av arkitektene for Hagia Sophia-katedralen i Konstantinopel (fullført i annonse 537), som et middel til å sikre at et alter kunne lyses opp med sollys hele dagen.
