Grunnlaget for matematikk

Kategoriteori

Abstraksjon i matematikk

En nyere tendens i utviklingen av matematikk har vært den gradvise abstraksjonsprosessen. Den norske matematikeren Niels Henrik Abel (1802–29) beviste at ligninger av femte grad generelt ikke kan løses av radikaler. Den franske matematikeren Évariste Galois (1811–32), delvis motivert av Abels arbeid, introduserte visse grupper permutasjoner for å bestemme de nødvendige forutsetninger for at en polynomligning kunne løses. Disse konkrete gruppene ga snart opphav til abstrakte grupper, som ble beskrevet aksiomatisk. Så ble det forstått at for å studere grupper var det nødvendig å se på forholdet mellom forskjellige grupper - spesielt på homomorfismene som kartlegger en gruppe i en annen mens gruppen bevares. Dermed begynte folk å studere det som nå kalles den konkrete kategorien av grupper, hvis gjenstander er grupper og hvis piler er homomorfismer. Det tok ikke lang tid før konkrete kategorier ble erstattet av abstrakte kategorier, igjen beskrevet aksiomatisk.

Den viktige forestillingen om en kategori ble introdusert av Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane på slutten av andre verdenskrig. Disse moderne kategoriene må skilles fra Aristoteles kategorier, som i dagens sammenheng er bedre kalt typer. En kategori har ikke bare objekter, men også piler (også referert til som morfismer, transformasjoner eller kartlegginger) mellom seg.

Mange kategorier har som objekter sett utstyrt med noen struktur og piler, som bevarer denne strukturen. Dermed finnes kategoriene sett (med tom struktur) og kartlegginger, av grupper og gruppe-homomorfismer, av ringer og ring-homomorfismer, av vektorrom og lineære transformasjoner, av topologiske rom og kontinuerlige kartlegginger, og så videre. Det eksisterer til og med, på et enda mer abstrakt nivå, kategorien (små) kategorier og funktorer, som morfismene mellom kategoriene kalles, som bevarer forholdet mellom gjenstandene og pilene.

Ikke alle kategorier kan sees på denne konkrete måten. For eksempel kan formlene til et deduktivt system sees på som objekter i en kategori hvis pilene f: A → B er fradrag for B fra A. Faktisk er dette synspunktet viktig i teoretisk informatikk, der formler er tenkt på som typer og fradrag som operasjoner.

Mer formelt består en kategori av (1) en samling av objekter A, B, C,…, (2) for hvert bestilte par av objekter i samlingen en tilhørende samling av transformasjoner inkludert identiteten I _A ∶ A → A, og (3) en tilhørende komposisjonslov for hver bestilte trippel objekter i kategorien slik at for f ∶ A → B og g ∶ B → C er sammensetningen gf (eller g ○ f) en transformasjon fra A til C — dvs. gf ∶ A → C. I tillegg kreves den assosiative loven og identitetene for å holde (hvor sammensetningene er definert i) ie, h (gf) = (hg) f og 1 _B f = f = f1 _A.

På en måte har objektene i en abstrakt kategori ingen vinduer, som monadene i Leibniz. For å utlede det indre av et objekt A trenger du bare å se alle pilene fra andre objekter til A. For eksempel, i kategorien sett, kan elementer i et sett A være representert med piler fra et typisk ettelementsett til A. Tilsvarende, i den kategori av små kategorier, hvis en er kategorien med ett objekt og ingen nonidentity piler, gjenstander av typen A kan bli identifisert med de funktorer en → A. Dessuten, hvis 2 er kategorien med to objekter og en nonidentity pil, pilene A kan bli identifisert med de funktorer 2 → A.

Isomorfe strukturer

En pil f: A → B er kalt en isomorfi hvis det er en pil g: B → En invers til f, det vil si, slik at g ○ f = 1 _A og f ○ g = 1 _B. Dette er skrevet A ≅ B, og A og B kalles isomorf, noe som betyr at de i det vesentlige har samme struktur og at det ikke er behov for å skille mellom dem. I og med at matematiske enheter er gjenstander for kategorier, blir de bare gitt opp til isomorfisme. Deres tradisjonelle settteoretiske konstruksjoner, bortsett fra å tjene et nyttig formål med å vise konsistens, er virkelig uten betydning.

For eksempel, i den vanlige konstruksjonen av heltalingen, er et helt tall definert som en ekvivalensklasse av par (m, n) med naturlige tall, hvor (m, n) tilsvarer (m ′, n ′) hvis og bare hvis m + n ′ = m ′ + n. Tanken er at ekvivalensklassen til (m, n) skal sees på som m - n. Det som imidlertid er viktig for en kategorist, er at ringen ℤ for heltall er et første objekt i kategorien ringer og homomorfismer - det vil si at for hver ring ℝ er det en unik homomorfisme ℤ → ℝ. Sett på denne måten blir only bare gitt opp til isomorfisme. I samme ånd skal det ikke sies at ℤ er inneholdt i feltet ℚ av rasjonelle tall, men bare at homomorfismen ℤ → ℚ er en-til-en. På samme måte gir det ingen mening å snakke om det settteoretiske skjæringspunktet mellom π og kvadratroten av √-1, hvis begge er uttrykt som sett med sett med sett (ad infinitum).

Av spesiell interesse for stiftelser og andre steder er tilgrensende funktorer (F, G). Dette er par funktorer mellom to kategorier ? og ℬ, som går i motsatte retninger slik at det eksisterer en en-til-en-korrespondanse mellom pilssettet F (A) → B i ℬ og pilssettet A → G (B) i ? - det vil si slik at settene er isomorfe.