Formell logikk

Semantiske tabluer

Siden 1980-tallet har en annen teknikk for å bestemme gyldigheten av argumenter i enten PC eller LPC fått en viss popularitet, både på grunn av den enkle læringen og den enkle implementeringen av dataprogrammer. Opprinnelig antydet av den nederlandske logikeren Evert W. Beth, og den ble mer fullstendig utviklet og publisert av den amerikanske matematikeren og logikeren Raymond M. Smullyan. Denne metoden hviler på observasjonen av at det er umulig for premissene for et gyldig argument å være sant mens konklusjonen er falsk. Denne metoden prøver å tolke (eller evaluere) premissene på en slik måte at de alle samtidig er fornøyd og negasjonen av konklusjonen er også fornøyd. Å lykkes med en slik innsats vil vise at argumentet er ugyldig, mens det å unnlate å finne en slik tolkning ville vise at det var gyldig.

Konstruksjonen av et semantisk tablå fortsetter som følger: uttrykk premissene og negasjonen for konklusjonen av et argument i PC ved å bruke bare negasjon (∼) og disjunksjon (∨) som proposisjonelle tilkoblinger. Fjern hver forekomst av to negasjonstegn i en sekvens (f.eks. ∼∼∼∼∼a blir ∼a). Nå konstruerer du et treskjema som forgrener seg nedover slik at hver sammenheng erstattes av to grener, en for venstre disjunct og en for høyre. Den opprinnelige disjunksjonen er sann hvis begge grenene er sanne. Henvisning til De Morgan's lover viser at en negasjon av en disjunksjon er sant bare i tilfelle negasjonene fra begge disjunkter er sanne [dvs. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Denne semantiske observasjonen fører til regelen om at negasjon av en disjunksjon blir en gren som inneholder negasjonen av hver disjunkt:

Vurder følgende argument:

Skrive:

Nå ut disjunksjonen og dann to grener:

Bare hvis alle setningene i minst en gren er sanne, er det mulig for de opprinnelige premissene å være sanne og konklusjonen falsk (tilsvarende for at konklusjonen er negert). Ved å spore linjen oppover i hver gren til toppen av treet, observerer man at ingen verdsettelse av a i venstre gren vil føre til at alle setningene i den grenen får verdien sann (på grunn av tilstedeværelsen av a og ∼a). Tilsvarende, i høyre gren gjør tilstedeværelsen av b og itb det umulig for en verdsettelse å resultere i at alle setningene til grenen mottar verdien sann. Dette er alle mulige grener; Dermed er det umulig å finne en situasjon der premissene er sanne og konklusjonen falsk. Det opprinnelige argumentet er derfor gyldig.

Denne teknikken kan utvides til å håndtere andre tilkoblinger:

I LPC må det videre innføres regler for innstigning av kvantifiserte wffs. Det er klart at enhver gren som inneholder både (∀x) ϕx og ∼ϕy er en der ikke alle setningene i den grenen kan tilfredsstilles samtidig (under antakelse av ω-konsistens; se metalogic). Igjen, hvis alle grenene ikke klarer å være tilfredsstillende samtidig, er det opprinnelige argumentet gyldig.

Spesielle systemer for LPC

LPC som beskrevet ovenfor kan modifiseres ved enten å begrense eller utvide rekkevidden av wffs på forskjellige måter:

• 1. Kampsystemer for LPC. Noen av de mer viktige systemene produsert ved begrensning er her skissert:

  • a.Det kan være nødvendig at hver predikatvariabel er monadisk mens du fortsatt tillater et uendelig antall individuelle og predikatvariabler. Atomwffs er da ganske enkelt de som består av en predikatvariabel etterfulgt av en enkelt individuell variabel. Ellers forblir formasjonsreglene som før, og definisjonen av gyldighet er også som før, men forenklet på åpenbare måter. Dette systemet er kjent som den monadiske LPC; det gir en logikk av egenskaper, men ikke relasjoner. Et viktig kjennetegn ved dette systemet er at det kan bestemmes. (Innføringen av til og med en enkelt dyadisk predikatvariabel ville imidlertid gjøre systemet uvedkommelig, og faktisk, til og med systemet som bare inneholder en enkelt dyadisk predikatvariabel og ingen andre predikatvariabler i det hele tatt har vist seg å være ubestemmelig.)

  • bA fortsatt enklere system kan dannes ved å kreve (1) at hver predikatvariabel er monadisk, (2) at bare en enkelt individuell variabel (f.eks. x) brukes, (3) at hver forekomst av denne variabelen blir bundet, og (4) at ingen kvantifiserer forekommer innenfor rammen for noen annen. Eksempler på wffs for dette systemet er (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Hva som er ϕ er både ψ og χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Det er noe som er ϕ men ikke ψ”); og (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Hvis det som er ϕ er ψ, så er noe både ϕ og ψ”). Notasjonen for dette systemet kan forenkles ved å utelate x overalt og skrive ∃ϕ for “Noe er ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ ψ) for “Hva er ϕ er ψ,” og så videre. Selv om dette systemet er mer rudimentært selv enn den monadiske LPC (som det er et fragment), kan formene for et bredt spekter av inferenser bli representert i det. Det er også et avgjørbart system, og beslutningsprosedyrer av elementær art kan gis for det.

• 2.Extensions of LPC. Mer forseggjorte systemer, der et bredere spekter av proposisjoner kan uttrykkes, er blitt konstruert ved å legge til LPC nye symboler av forskjellige typer. Det mest enkle av slike tillegg er:

  • a. En eller flere individuelle konstanter (si, a, b,

    ): disse konstantene blir tolket som navn på spesifikke individer; formelt skiller de seg fra individuelle variabler ved at de ikke kan forekomme innenfor kvantifiseringsmidler; f.eks. (∀x) er en kvantifiserer, men (∀a) er det ikke.

  • b. En eller flere predikatkonstanter (si A, B,

    ), hver av en viss spesifisert grad, tenkt som betegnende spesifikke egenskaper eller relasjoner.

Et ytterligere mulig tillegg, som krever noe fyldigere forklaring, består av symboler designet for å stå for funksjoner. Forestillingen om en funksjon kan forklares tilstrekkelig for nåværende formål som følger. Det sies å være en viss funksjon av n argumenter (eller, grad n) når det er en regel som spesifiserer et unikt objekt (kalt verdien av funksjonen) når alle argumentene er spesifisert. I menneskers domene er for eksempel “mor til -” en monadisk funksjon (en funksjon av ett argument), siden det for hvert menneske er et unikt individ som er moren; og i domenet til de naturlige tallene (dvs. 0, 1, 2,

), "Summen av - og -" er en funksjon av to argumenter, siden for et par naturlige par er det et naturlig tall som er summen. Et funksjonssymbol kan tenkes å danne et navn ut av andre navn (dets argumenter); Derfor, når summen av x og y navnene, "summen av x og y" også navn et nummer, og på lignende måte for andre typer funksjoner og argumenter.

For å aktivere funksjoner som kan uttrykkes i LPC kan det legges til:

• c.En eller flere funksjonsvariabler (si f, g,

  ) eller en eller flere funksjonskonstanter (si F, G,

  ) eller begge deler, hver av en spesifisert grad. De førstnevnte blir tolket som å strekke seg over funksjoner i de angitte grader, og de sistnevnte som betegner spesifikke funksjoner for den graden.

Når en eller alle a – c er lagt til LPC, må formasjonsreglene som er oppført i første ledd i seksjonen på den nedre predikatkalkulusen (se ovenfor Den nedre predikatkalkulusen) må modifiseres for at de nye symbolene skal kunne integreres i wffs. Dette kan gjøres som følger: Et begrep blir først definert som enten (1) en individuell variabel eller (2) en individuell konstant eller (3) et hvilket som helst uttrykk dannet ved å prefiksere en funksjonvariabel eller funksjonskonstant av grad n til noen n-termer (disse begrepene - argumentene for funksjonssymbolet - skilles vanligvis med komma og er lukket i parentes). Formasjonsregel 1 erstattes deretter av:

• 1′. Et uttrykk bestående av en predikatvariabel eller predikatkonstant i grad n etterfulgt av n-termer er en wff.

Det aksiomatiske grunnlaget gitt i avsnittet om aksiomatisering av LPC (se ovenfor Axiomatisering av LPC) krever også følgende modifisering: i aksiomskjema 2 tillates ethvert begrep å erstatte a når β dannes, forutsatt at ingen variabel som er fri i begrep blir bundet i β. Følgende eksempler illustrerer bruken av de nevnte tilleggene til LPC: la verdiene til de individuelle variablene være de naturlige tallene; la de enkelte konstantene a og b stå for henholdsvis tallene 2 og 3; la A mener “er førsteklasses”; og la F representere den dyadiske funksjonen "summen av." Deretter uttrykker AF (a, b) proposisjonen "Summen av 2 og 3 er prim," og (∃x) AF (x, a) uttrykker proposisjonen "Det finnes et tall slik at summen av det og 2 er prim.”

Innføringen av konstanter er normalt ledsaget av tilskuddet til det aksiomatiske grunnlaget for spesielle aksiomer som inneholder disse konstantene, designet for å uttrykke prinsipper som rommer objekter, egenskaper, relasjoner eller funksjoner representert av dem - selv om de ikke har objekter, egenskaper, relasjoner eller funksjoner generelt. Det kan for eksempel besluttes å bruke den konstante A for å representere den dyadiske relasjonen “er større enn” (slik at Axy skal bety “x er større enn y” og så videre). Denne relasjonen, i motsetning til mange andre, er transitive; dvs. hvis ett objekt er større enn et sekund og det andre er igjen større enn en tredjedel, er det første større enn det tredje. Følgelig kan følgende spesielle aksiomskjema legges til: Hvis t ₁, t ₂ og t ₃ er noen vilkår, er (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ Ved ₁ t ₃ er et aksiom. På slike måter kan systemer konstrueres for å uttrykke de logiske strukturer for forskjellige spesielle fagområder. Området der mest arbeid av denne typen er utført, er det med aritmetikk av naturlig tall.

PC og LPC er noen ganger kombinert i et enkelt system. Dette kan gjøres ganske enkelt ved å legge proposisjonsvariabler til listen over LPC-primitiver, legge til en formasjonsregel for at en proposisjonsvariabel som står alene er en wff, og slette "LPC" i aksiomskjema 1. Dette gir som wffs slike uttrykk som (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx og (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-med-identitet. Ordet “er” brukes ikke alltid på samme måte. I en proposisjon som (1) "Sokrates er snud-nosed," uttrykker uttrykket foran "er" et individ, og uttrykket som følger det står for en egenskap tilskrevet den personen. Men i et forslag som (2) “Sokrates er den athenske filosofen som drakk hemlock”, uttrykkene som går foran og følger “er” begge navn på individer, og følelsen av hele proposisjonen er at den personen som er navngitt av den første er det samme individet som personen som er navngitt av den andre. Dermed kan i 2 “er” utvides til “er det samme individet som”, mens det i 1 ikke kan. Som brukt i 2, står “er” for en dyadisk relasjon - nemlig identitet - som proposisjonen hevder å ha mellom de to individene. En identitetsproposisjon skal forstås i denne sammenhengen som ikke hevder mer enn dette; spesielt er det ikke å anse som å hevde at de to navnuttrykkene har samme betydning. Et mye omtalt eksempel for å illustrere dette siste punktet er "Morgenstjernen er kveldsstjernen." Det er usant at uttrykkene “morgenstjernen” og “kveldsstjernen” betyr det samme, men det er sant at objektet som den førstnevnte refererer til er det samme som referert til av sistnevnte (planeten Venus).

For å gjøre det mulig å uttrykke former for identitetsproposisjoner, legges en dyadisk predikatskonstant til LPC, som den vanligste notasjonen er = (skrevet mellom, snarere enn før, dens argumenter). Den tiltenkte tolkningen av x = y er at x er det samme individet som y, og den mest praktiske lesningen er "x er identisk med y." Negasjonen ∼ (x = y) er ofte forkortet til x ≠ y. Til definisjonen av en LPC-modell gitt tidligere (se ovenfor gyldighet i LPC) er det nå lagt til regelen (som samsvarer med en åpenbar måte med den tiltenkte tolkningen) at verdien av x = y skal være 1 hvis samme medlem av D er tilordnet både x og y, og at verdien ellers er 0; gyldighet kan da defineres som før. Følgende tillegg (eller noen likeverdige) blir gjort til det aksiomatiske grunnlaget for LPC: aksiomen x = x og aksiomskjemaet der, hvor a og b er noen individuelle variabler og α og β er wffs som bare skiller seg i det, ved ett eller flere steder hvor α har en fri forekomst av a, β har en fri forekomst av b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) er et aksiom. Et slikt system er kjent som en lavere-predikat-kalkulus-med-identitet; det kan selvfølgelig bli ytterligere forsterket på de andre måtene som er nevnt over i "Extensions of LPC," i hvilket tilfelle ethvert begrep kan være et argument av =.

Identitet er en ekvivalensrelasjon; det vil si at det er refleksivt, symmetrisk og transitivt. Refleksiviteten kommer direkte til uttrykk i aksiomen x = x, og teoremer som uttrykker dens symmetri og transittivitet kan lett utledes fra det gitte grunnlag.

Enkelte wffs med LPC-med-identitet uttrykker forslag om antall ting som har en gitt eiendom. “Minst en ting er ϕ” kunne selvfølgelig allerede uttrykkes med (∃x) ϕx; “Minst to distinkte (ikke-identifiserte) ting er ϕ” kan nå uttrykkes med (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); og sekvensen kan videreføres på en åpenbar måte. “På det meste en ting er ϕ” (dvs. “Ingen to distinkte ting er begge ϕ”) kan uttrykkes ved negering av sistnevnte wff eller med dets ekvivalent, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], og sekvensen kan igjen lett fortsettes. En formel for "Nøyaktig en ting er ϕ" kan fås ved å kombinere formlene for "Minst en ting er ϕ" og "På det meste en ting er ϕ," men en enklere wff som tilsvarer denne konjunksjonen er (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], som betyr "Det er noe som er ϕ, og alt som er ϕ er den tingen." Proposisjonen "Nøyaktig to ting er ϕ" kan være representert med (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; dvs. "Det er to ikke-identiske ting som hver er ϕ, og alt som er ϕ er det ene eller det andre av disse." Det er klart, denne sekvensen kan også utvides til å gi en formel for “Nøyaktig n ting er ϕ” for hvert naturlig tall n. Det er praktisk å forkorte wff for “Nøyaktig en ting er ϕ” til (∃! X) ϕx. Denne spesielle kvantifisereren blir ofte lest høyt som "E-Shriek x."

Definitive beskrivelser

Når en bestemt egenskap ϕ tilhører ett og bare ett objekt, er det praktisk å ha et uttrykk som navngir det objektet. En vanlig notasjon for dette formålet er (ιx) ϕx, som kan leses som "det som er ϕ" eller mer kort som "the ϕ." Generelt, der a er en hvilken som helst individuell variabel og α er hvilken som helst wff, (ιa) α står da for den ene verdien av a som gjør α sant. Et uttrykk for formen "det ujevne" kalles en klar beskrivelse; og (ιx), kjent som en beskrivelsesoperatør, kan tenkes å danne et navn til et individ ut fra en proposisjonsform. (ιx) er analog med en kvantifiserer ved at når den er forhåndsinnstilt til en wff α, binder den hver frie forekomst av x i α. Relettering av bundne variabler er også tillatt; i det enkleste tilfellet (ιx) ϕx og (ιy) ϕy kan hver enkelt leses som "the ϕ."

Når det gjelder formasjonsregler, kan definitive beskrivelser inkorporeres i LPC ved å la uttrykk for formen (ιa) α telle som begrep; regel 1 ′ ovenfor, i "Extensions of LPC," vil deretter la dem forekomme i atomformler (inkludert identitetsformler). “Φ er (dvs. har egenskapen) ψ” kan da uttrykkes som ψ (ιx) ϕx; “Y er (samme person som) ϕ” som y = (ιx) ϕx; “Φ er (samme person som) ψ” som (ιx) ϕx = (ιy) ψy; og så videre.

Riktig analyse av proposisjoner som inneholder bestemte beskrivelser har vært gjenstand for betydelig filosofisk kontrovers. En allment akseptert beretning - i det vesentlige den som er presentert i Principia Mathematica og kjent som Russells teori om beskrivelser - hevder at "The er ψ" skal forstås som å si at nøyaktig en ting er ϕ og den tingen er også ψ. I så fall kan det uttrykkes med en wff av LPC-med-identitet som ikke inneholder noen beskrivelsesoperatører - nemlig (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogt blir “y er ϕ” analysert som “y er ϕ og ingenting annet er ϕ” og dermed som uttrykkelig med (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). “Φ er ψ” blir analysert som “Nøyaktig en ting er ϕ, nøyaktig en ting er ψ, og hva som er ϕ er ψ” og derav som uttrykkelig med (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx og (ιx) ϕx = (ιy) ψy kan da betraktes som forkortelser for henholdsvis (1), (2) og (3); og ved å generalisere til mer komplekse saker, kan alle wffs som inneholder beskrivelsesoperatører, betraktes som forkortelser for lengre wffs som ikke gjør det.

Analysen som fører til (1) som formel for “The ϕ is ψ” fører til følgende for “The ϕ is not ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Det er viktig å merke seg at (4) ikke er negasjonen av (1); denne negasjonen er i stedet (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Forskjellen i mening mellom (4) og (5) ligger i det faktum at (4) er sant bare når det er nøyaktig en ting som er ϕ og den tingen ikke er ψ, men (5) er sant både i dette tilfellet og også når ingenting er ϕ i det hele tatt, og når mer enn én ting er ϕ. Forsømmelse av skillet mellom (4) og (5) kan føre til alvorlig forvirring av tankene; i vanlig tale er det ofte uklart om noen som benekter at ϕ er ψ innrømmer at nøyaktig en ting er ϕ men nekter for at det er ψ, eller benekter at nøyaktig en ting er ϕ.

Den grunnleggende påstanden til Russells teori om beskrivelser er at et forslag som inneholder en bestemt beskrivelse ikke skal betraktes som en påstand om et objekt som beskrivelsen er et navn, men snarere som en eksistensielt kvantifisert påstand om at en viss (ganske kompleks) egenskap har et eksempel. Formelt gjenspeiles dette i reglene for å eliminere beskrivelsesoperatører som ble skissert ovenfor.