Euklidisk geometri
Hvis vi vurderer euklidisk geometri, skiller vi tydelig at det refererer til lovene som regulerer posisjonene til stive legemer. Det viser seg å være den geniale tanken om å spore tilbake alle relasjoner om kropper og deres relative posisjoner til det helt enkle konseptet "distanse" (Strecke). Avstand angir et stivt legeme som det er spesifisert to materialpunkter (merker). Begrepet likhet mellom avstander (og vinkler) refererer til eksperimenter som involverer tilfeldigheter; de samme merknadene gjelder teoriene om kongruens. Nå bruker euklidisk geometri, i den formen den er blitt overlevert til oss fra Euclid, de grunnleggende begrepene "rett linje" og "plan" som ikke ser ut til å stemme overens, eller i noen fall, ikke så direkte, med opplevelser angående stive kroppers stilling. På dette må det bemerkes at begrepet rett linje kan reduseres til avstandens.1 Dessuten var geometrikere mindre opptatt av å få fram forholdet mellom de grunnleggende begrepene deres til å oppleve enn å logisk trekke de geometriske proposisjonene fra noen få aksiomer utpekt i begynnelsen.
La oss kort skissere hvordan kanskje grunnlaget for euklidisk geometri kan oppnås fra begrepet distanse.
Vi tar utgangspunkt i likestilling av avstander (aksiom av likestilling av avstander). Anta at den av to ulik avstand alltid er større enn den andre. De samme aksiomene gjelder for ulikheten i avstander som for ulikheten i antall.
Tre avstander AB 1, BC 1, CA 1 kan, hvis CA 1 velges passende, ha merkene BB 1, CC 1, AA 1 superponert på hverandre på en slik måte at en trekant ABC resulterer. Avstanden CA 1 har en øvre grense som denne konstruksjonen fremdeles bare er mulig for. Punktene A, (BB ') og C ligger deretter i en "rett linje" (definisjon). Dette fører til at konseptene: produserer en avstand med et beløp som er lik seg selv; dele en avstand i like deler; å uttrykke en avstand i form av et tall ved hjelp av en målestang (definisjon av mellomrom mellom to punkter).
Når begrepet intervall mellom to punkter eller lengden på en avstand er oppnådd på denne måten, trenger vi bare følgende aksiom (Pythagoras 'teorem) for å komme frem til den euklidiske geometrien analytisk.
Til hvert punkt i rommet (referansekropp) kan tre tall (koordinater) x, y, z tilordnes - og omvendt - på en slik måte at for hvert par av punktene A (x 1, y 1, z 1) og B (x 2, y 2, z 2) teorem har:
måle-nummer AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Alle ytterligere konsepter og proposisjoner om euklidisk geometri kan deretter bygges opp rent logisk på dette grunnlaget, spesielt også forslagene om rett linje og plan.
Disse merknadene er naturligvis ikke ment å erstatte den strengt aksiomatiske konstruksjonen av euklidisk geometri. Vi ønsker bare å indikere plausibelt hvordan alle forestillinger om geometri kan spores tilbake til avstanden. Vi kan like gjerne ha preget hele grunnlaget for euklidisk geometri i det siste teoremet ovenfor. Forholdet til erfaringsgrunnlagene vil da bli gitt ved hjelp av en supplerende teorem.
Koordinatet kan og må velges, slik at to par punkter atskilt med like intervaller, beregnet ved hjelp av Pythagoras 'teorem, kan få sammenfallende med en og samme passende valgt avstand (på et fast stoff).
Begrepene og proposisjonene fra euklidisk geometri kan være avledet fra Pythagoras 'forslag uten innføring av stive legemer; men disse konseptene og proposisjonene vil da ikke ha innhold som kunne testes. Det er ikke "sanne" proposisjoner, men bare logisk korrekte proposisjoner med rent formelt innhold.
