Riemann zeta-funksjon, funksjon nyttig i tallteori for å undersøke egenskapene til primtall. Skrevet som ζ (x), ble den opprinnelig definert som den uendelige serienζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Når x = 1, kalles denne serien den harmoniske serien, som øker uten å være bundet - dvs. summen er uendelig. For verdier på x som er større enn 1, konvergerer serien til et endelig antall når suksessive termer legges til. Hvis x er mindre enn 1, er summen igjen uendelig. Zeta-funksjonen ble kjent av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler i 1737, men den ble først studert omfattende av den tyske matematikeren Bernhard Riemann.
I 1859 publiserte Riemann en artikkel som ga en eksplisitt formel for antall primer opp til en hvilken som helst forhåndsinnstilt grense - en bestemt forbedring i forhold til omtrentlig verdi gitt av primtallsteoremet. Imidlertid var Riemanns formel avhengig av å kjenne til verdiene som en generalisert versjon av zeta-funksjonen tilsvarer null. (Riemann zeta-funksjonen er definert for alle komplekse tall — tall med formen x + iy, der i = Kvadratrot av √ − 1 — unntatt linjen x = 1.) Riemann visste at funksjonen tilsvarer null for alle negative, heltal −2, −4, −6,
(såkalte trivielle nuller), og at den har et uendelig antall nuller i den kritiske stripen med komplekse tall mellom linjene x = 0 og x = 1, og han visste også at alle ikke-nulprivielle nuller er symmetriske med hensyn til de kritiske linje x = Anmeldelse for 1. / 2-. Riemann antok at alle nontrivialnollene er på den kritiske linjen, en formodning som senere ble kjent som Riemann-hypotesen.
I 1900 kalte den tyske matematikeren David Hilbert Riemann-hypotesen for et av de viktigste spørsmålene i all matematikk, som antydet ved at den ble inkludert i hans innflytelsesrike liste over 23 uløste problemer som han utfordret matematikere fra 1900-tallet. I 1915 beviste den engelske matematikeren Godfrey Hardy at et uendelig antall nuller forekommer på den kritiske linjen, og i 1986 ble de første 1 500 000 001 ikke-private nullene vist å være på den kritiske linjen. Selv om hypotesen ennå kan vise seg å være falsk, har undersøkelser av dette vanskelige problemet beriket forståelsen av komplekse tall.
